实对称矩阵知乎(实对称矩阵有哪些定理)
又名：TOPE和健美操决赛将于明天举行，但我在这里写下.
u1s1，有时候写总结或者看书的时候都会感到不安……就记录一下今天看到的比较有用的结论吧。8)今天老师讲的很多地方都很模糊。TT理解起来很累。
实对称矩阵
实对称矩阵的性质
引理1:对称变换以及实对称矩阵的特征值一定是实数
pf:
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='assume#xA0;A#x03B1;=#x03BB;#x03B1;(1)role='presentation'的共轭表示为假设A=,(1)的共轭\阿尔法是\overline{\alpha}\
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x03B1;#x00AF;#x2032;'role='presentation'′\overline\alpha的含义：对向量的每一维取共轭数，然后将列向量转换为行向量
然后乘以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x03B1;#x00AF;'(1)中的角色='演示'\overline{\alpha}
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B1;#x00AF;#x2032;(A#x03B1;)=#'角色='演示'′(A)=′′A=(A′)=(Aˉ)\overline{\alpha}(A\alpha)=\overline{\alpha}A\alpha=(A\overline{\alpha})\alpha=(\overline{A\alpha})\alpha
注意：为什么最后一个等号成立？这是因为A是实对称矩阵
命题：在复数领域，a的虚部为0当且仅当a=a的共轭。因此，由于A的各个位置的元素都是实数，所以取共轭后，仍然等于原来的A。这样就有：
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(A#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03BB;#x03B1;#xA0;for#x03BB;#xA0;is#xA0;a#xA0;数字，#xA0;所以#xA0;我们#xA0;可以#xA0;改变#xA0;它的#xA0;序列#xA0;然后，#xA0;我们#xA0;得到#xA0;(A#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#xA0;(#x03BB;#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#x03BB;#x00AF;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#xA0;而#xA0;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;=x1#x00AF;x1+x2#x00AF;x2+.+xn#x00AF;xn#xA0;'role='presentation'(A′)=′′′,对于是一个数字，所以我们可以改变它的顺序，那么，wegot(A′)=′′(′)′=′′′,′′′=而=x1x1+x2x2+.+xnxn(\overline{A\alpha})\alpha={\overline\alpha}\lambda\alpha,\\\因为\lambda\是\一个\数字，\所以\我们\可以\改变\其\序列\\\那么，\我们\得到\(\overline{A\alpha})\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha\\\(\overline{\lambda\alpha})\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha,\\\overline{\lambda}\overline{\alpha}\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha\\\while\\overline{\alpha}\alpha=\overline{x_1}{x_1}+\overline{x_2}{x_2}+.+\overline{x_n}x_n\\\
由于之前提到的一个结论：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='根据#xA0;to:#xA0;aa#x00AF;#x2208;R,#x2200;a#x2208;C'角色='演示'根据：aR,aC\\根据\to:\a\overline{a}\inR,\foralla\inC\\
又因为这里是一个特征向量：0，\\\我们\可以\得出\that:\overline{\lambda}-\lambda=0.\\\\所以，\lambda\in\R'rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='and#xA0;#x03B1;#x2260;0(因为#xA0;#x03B1;#xA0;是#xA0;a#xA0;特征向量)#xA0;因此，#xA0;来自#xA0;(#x03BB;#x00AF;#xA0;#x2212;#x03BB;)(#x03B1;#x00AF;#x03B1;)=0,和#xA0;#x03B1;#x00AF;#x03B1;gt;0,#xA0;我们#xA0;可以#xA0;结论#xA0;that:#x03BB;#x00AF;#x2212;#x03BB;=0.#xA0;#xA0;所以，#x03BB;#x2208;#xA0;R'角色='表示'且0（因为是特征向量），因此，由(′)(′)=0，且′0，我们可以得出：′′=0。所以，Rand\\alpha\ne0(因为\\alpha\是\a\特征向量)\\\因此，\from\(\overline{\lambda}\-\lambda)(\overline{\alpha}\alpha)=0,\\且\\overline{\alpha}\alpha0,\\\我们\可以\得出结论\:\overline{\lambda}-\lambda=0。\\\\所以，\lambda\in\R
小结：
列向量转置的目的
(1)转位、改变运算顺序方便。行向量*列向量=数字。数字作为一个整体可以任意调换。同时数字整体在运算时还可以改变乘法的顺序==
(2)对于特殊的向量转置和乘法，可以确定相应元素的符号。==
例如：根据已知定理，复数范围内rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B1;#x2217;#x03B1;#x00AF;=||#x03B1;||2'角色='演示'*=||||2\alpha*\overline{\}=||\||^2。即：将复数与其自身的共轭相乘，得到其自身模的平方（a^2+b^2）。
从这一点我们可以得到一个推论：n维向量rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x03B7;#xFF0C;'role='presentation',eta,\eta,ifknownrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B7;#x2260;0,'role='presentation'0,\eta\ne0,则：0.'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x03B7;#x03B7;#x00AF;gt;0。'角色='演示'\eta\overline{\eta}0.\eta\overline{\eta}0.并且，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B7;#x03B7;#x00AF;=0'角色='演示'=0\eta\overline{\eta}=0当且仅当rame'tabindex='0'style='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B7;=0'角色='演示'=0\eta=0
引理2:对称变换及实对称矩阵属于不同特征值的特征向量，相互正交
请注意，对称变换和实对称矩阵之间的联系是通过正交基建立的：一组正交基下的对称变换矩阵是实对称矩阵。因此，我们只需证明实对称矩阵对应的对称变换的不同特征值的特征向量彼此正交即可。
pf:(求两边的内积)(\alpha,\beta)=0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='假设#xA0;#x03BC;#x2260;#xA0;#x03BB;#xA0;#x03B1;=#x03BC;#x03B1;#xA0;#xA0;#x03B2;=#x03BB;#x03B2;#xA0;(#x03B1;#x03B2;)=(#x03BC;#x03B1;#x03B2;)=#x03BC;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;对于#xA0;#xA0;是#xA0;对称#xA0;变换#xA0;然后#xA0;(#x03B1;#x03B2;)=(#x03B1;#x03B2;)=(#x03B1;#x03BB;#x03B2;)=#x03BB;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;所以，#xA0;#x03BC;(#x03B1;#x03B2;)=#x03BB;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;for#xA0;#x03BC;#x2260;#x03BB;#xA0;so#xA0;(#x03BC;#x2212;#x03BB;)(#x03B1;#x03B2;)=0=gt;(#x03B1;#x03B2;)=0'role='presentation'假设==(,)=(,)=(.)进行对称变换则(,)=(,)=(,)=(,)so,(,)=(,)forso()(,)=0=(,)=0假设\\mu\ne\\lambda\\\\alpha=\mu\alpha\\\\\beta=\lambda\beta\\\(\alpha,\beta)=(\mu\alpha,\beta)=\mu(\alpha.\beta)\\\为\\是\对称\变换\\\则\(\alpha,\beta)=(\alpha,\beta)=(\alpha,\lambda\beta)=\lambda(\alpha,\beta)\\\so,\\mu(\alpha,\beta)=\lambda(\alpha,\beta)\\largefor\\mu\ne\lambda\\\so\(\mu-\lambda)(\alpha,\beta)=0=(\alpha,\beta)=0
引理3:若V的子空间rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1"role="presentation"V1V_1是-子空间，则rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1"role="presentation"V1V_1的正交补rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1#x22A5;"role="presentation"V1V_1^{\bot}也是-子空间
引理4:n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量
当实对称矩阵有n个不同的特征值时，显然有n个线性无关的特征向量。然而，当实数对称矩阵有s个特征值时，s个实数对称矩阵的特征值的几何重数等于代数重数。**
连接：矩阵进行对角化的充要条件：
(1)特征多项式的所有根都属于这个数域P
(2)对于特征多项式中的每个特征值，几何重数等于代数重数。自然地，实对称矩阵必须是可对角化的，这相当于实对称矩阵的特征值必须是实数，并且对于每个实对称矩阵特征值rame'tabindex='0'style='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;i'role='presentation'i\lambda_iall有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;i'role='presentation'i\lambda_i对应特征子空间rame的维度'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='dim(V#x03BB;i)'role='presentation'dim(Vi)dim(V_{\lambda_i})等于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'特征多项式中的data-mathml='(#x03BB;#x2212;#x03BB;i)ti'role='presentation'(i)ti(\lambda-\lambda_i)^{t_i}次。事实上，代数重数等于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='dim(V#x03BB;i)=dim(N#xA0;(A#x2212;#x03BB;iI)#xA0;)'角色='演示'dim(Vi)=dim(N(AiI))dim(V_{\lambda_i})=dim(N\(A-\lambda_iI)\)即线性方程组基本解系所包含的向量个数。
注意：引理4并不意味着实数对称矩阵的相同特征值对应的特征向量是线性无关的。显然情况不一定如此。从“n阶实对称矩阵必须有n个线性无关的特征向量”不能推导出“具有相同特征值的特征向量是线性无关的”。引理4只能解释：实对称矩阵对应的对角矩阵中是否存在重复的特征值。那么，这些特征值重复出现的次数必须等于其对应的特征子空间的维数。换句话说，在这些特征值对应的特征子空间中，基是由与重复次数对应的向量组成的。
PF：我还没有看到任何更容易理解的东西。但可以从其对应的对角矩阵来理解。因为对于对角矩阵A，方程rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(#x03BB;iE#x2212;A)X=0'角色='演示'(iEA)X=0(\lamb
da_iE-A)X=0的基础解系的向量个数是显然的。从方程组的角度来看几何重数和代数重数往往比较直观。因为，对于对角矩阵或者Jordan标准形来说，几何重数就是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(λiE?A)X=0"role="presentation">(λiE?A)X=0(\lambda_iE-A)X=0的解空间的维数；代数重数就是在对角线中rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i出现的次数。这也就解释了，对于Jordan标准形rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="JA"role="presentation">JAJ_A来说，当且仅当它的所有Jordan块都是1阶时，A矩阵可对角化。当且仅当至少有一个Jordan块的阶数大于等于2时，A矩阵不可对角化。请见下例：
（1）假设对角矩阵A为：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[]"role="presentation">[]\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}
即：A的Jordan标准形由三个Jordan块组成，且均为1阶。这就意味着：Jordan标准形就是一个对角阵。对于特征值2，它的特征向量是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(a,0,b)T"role="presentation">(a,0,b)T(a,0,b)^T，a、b可以是任意取值(可以相等，可以不相等，但不能同时为0)，所以特征值2的特征空间为2维
（2）只要出现了阶数大于1的Jordan块：由一个2阶Jordan块和一个1阶Jordan块组成。在代入相应的特征值的时候，就能看到，方程rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="A?2?I"role="presentation">A?2?IA-2*I=0对应的基础解系的个数，一定会小于Jordan标准形里特征值出现的次数。
联：由此想到，可对角化和不可对角化的矩阵，都能化为Jordan标准形。其中，Jordan块的总数量rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(m1+m2+...+ms=m)"role="presentation">(m1+m2+...+ms=m)(m_1+m_2+...+m_s=m)，就是所有特征子空间的维数之和。一般来说，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m≤n"role="presentation">m≤nm\len。但是，对于s个特征值中任意一个rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i来说，每一个的几何重数都等于其对应的Jordan块数目之和。这也和rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m1+m2+...ms=m"role="presentation">m1+m2+...ms=mm_1+m_2+...m_s=m表示Jordan块的总数量，也表示所有特征子空间的维数之和，是符合的。
对于整个Jordan标准形而言，有这样的结论：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的几何重数rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="mi"role="presentation">mim_i，等于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="det(JA?λI)=(λ?λ1)t1...(λ?λi)ti...(λ?λs)ts"role="presentation">det(JA?λI)=(λ?λ1)t1...(λ?λi)ti...(λ?λs)tsdet(J_A-\lambdaI)=(\lambda-\lambda_1)^{t_1}...(\lambda-\lambda_i)^{t_i}...(\lambda-\lambda_s)^{t_s}中的rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="ti"role="presentation">tit_i。即，jordan标准形里，特征值的几何重数等于在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="det(JA?λi)"role="presentation">det(JA?λi)det(J_A-\lambdai)中相应因式的次数。只要特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i%有一个Jordan块阶数>1，那么，它的代数重数>几何重数。如果特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的全部rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="mi"role="presentation">mim_i个jordan块全是阶数=1的，那么特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的代数重数=几何重数。
定理:实对称矩阵一定可以正交相似对角化
即：实对称矩阵一定可以对角化，且此过程中，可以利用正交矩阵作为那个可逆矩阵P来对角化。（当然，也可以用一般的矩阵）基于这一重要定理的实对称矩阵正交相似化方法
正是由于引理2的成立，即实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的，我们才能够通过施密特正交化构造出正交矩阵，使得实对称矩阵正交相似于对角矩阵。因此我们得到实对称矩阵最重要的性质，即此处定理：实对称矩阵一定可以相似对角化，并且相似的对角矩阵为该实对称矩阵线性无关的特征向量对应的特征值按顺序排列在对角矩阵的对角线上，并且还可以通过施密特正交化构造正交矩阵进行正交相似对角化。
证明过程和方法：实对称矩阵正交相似于对角矩阵
求出实对称矩阵A的特征多项式rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="|λE?A|"role="presentation">|λE?A||\lambdaE-A|，从而求出其全部的特征值：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ1,λ2,...λs"role="presentation">λ1,λ2,...λs\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_s依次代入全部的特征值，求出每一个特征值下的特征向量，每个特征值下的特征向量是线性方程组的解：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(λiE?A)X=0"role="presentation">(λiE?A)X=0(\lambda_iE-A)X=0求出该方程组的基础解系，基础解系就是属于特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的特征向量的坐标。再根据事先指定的原来的一组基和这些坐标，可以确定，这个特征子空间的一组基。对于同一个特征值的线性无关的特征向量：对这组线性无关的特征向量采用施密特正交化的方法，化成标准正交基（该特征值所对应的特征子空间的标准正交基）
引理2作为依据，将不同特征值所对应的线性无关的特征向量都正交化以后，它们所构成的全部的n个正交化、长度为1的向量，彼此仍然正交。这是因为：实对称矩阵在不同特征值下的特征向量，是相互正交的。
从而，我们将原来的实对称矩阵的n个线性无关的特征向量，化成了一组标准正交基。也就是说，我们把原来的一组由线性无关的特征向量组成的矩阵，化成了一组由标准正交基组成的矩阵。注意到，n阶方阵为正交矩阵，当且仅当：其行向量组（或列向量组）是正交组。因此，此时由标准正交基组成的矩阵就是一个正交矩阵。从而，我们得到了实对称矩阵的相似对角化表示。注意到：虽然把原来的向量变成了现在的一组标准正交基，但是这个对角矩阵（对角线上是全部特征值）是不变的。