压缩数列怎么判断(怎么证明压缩数列收敛)
学过高等数学或者考研的同学一定知道，证明数列的收敛性是一个比较困难的问题。在高等数学范围内，证明数列收敛的方法只有两种：一是箍缩定理，二是单调有界定理。这两种方法都很难使用。要使用箍缩定理，您需要找到一大一小两个数值序列，并且它们必须具有相同的极限。使用单调有界定理，不仅需要证明单调性，还需要证明它是有界的，并且两者必须匹配：如果是单调递增，则需要证明存在上界；如果是单调递减，则需要证明存在下界。无论哪种情况，都很难使用。如果是大题目，把证明步骤详细写下来比较划算。但是，如果遇到选择题或者填空题，即使是一个小题，也要花很长时间才能判断数字序列是否收敛，从时间上来说，这是不值得的。
那么，今天我给大家介绍一种非常快速的判断序列是否收敛的方法，我们称之为压缩序列法。
1.什么是压缩数列？
压缩序列的定义如下：
从这个定义也可以看出，“压缩”的含义是指每两项之间的差异逐渐缩小并小于一个比例常数。当然，我们也要求这个比例常数小于1。
2.压缩数列与收敛性有什么关系？
我们的结论是：
定理：压缩数列一定收敛。
让我们使用比较辨别和绝对收敛来证明这个定义。
好了，以上就是定理的证明过程。有了这个定理之后，在做选择题和填空题的时候，如果你能发现它是一个压缩序列，那么我就知道它一定是收敛的，这样可以节省很多时间。
首先我们看一个考研中很常见的题：
在标准答案中，只能使用单调有界定理：
使用这种方法的证明过程非常繁琐，需要两次数学归纳。而且，如果严格评判试卷，哪怕某一步骤有漏洞、有遗漏，也拿不到满分。
那么我们用本文介绍的压缩序列方法来证明：
可见，使用压缩序列方法的证明非常简单，只需要一步即可完成。可以验证，在很多情况下，压缩序列方法是一种非常快速的判断序列收敛性的方法。有兴趣的同学可以找到更多考研题来尝试。
但这种方法并不属于考研大纲范围，所以考研时大证明题不允许使用这种方法。但对于选择题和填空题来说，这是一个节省时间的好方法。
4.历史背景
看完上面的例子，很多同学可能会非常惊讶，竟然有这么简单快速的方法。但事实上，这种方法只是一个更高级定理的基本形式。这个更高级的定理就是历史上著名的——巴纳赫不动点定理。
巴纳赫不动点定理，也称为压缩映射原理，其全文描述如下：
当然，理解这个定理需要学习更高等的数学，这超出了本文的范围。
压缩映射原理是泛函分析学科中一个非常重要的定理。它是由波兰数学家巴纳赫于1922年提出的，他本人也是泛函分析学科的重要创始人之一。一。
巴纳赫1892年出生于波兰克拉科夫，自幼热爱数学，但命运却颇为坎坷。由于家庭背景和第一次世界大战的原因，他没有接受过完整、系统的专业数学训练。不过，凭借他的毅力，他通过自学获得了大量的数学知识，并结识了当时数学界的许多前辈。1917年，巴纳赫的第一篇论文发表于《克拉科夫科学院会报》，这使他于1920年在利沃夫理工学院获得助教职位，从此开始了他的数学生涯。
巴纳赫于1922年提出巴纳赫不动点定理，并于1927年晋升教授。他引入了线性赋范空间的概念，成为泛函分析的基本概念，并证明了泛函分析中的三大定理：泛函连续定理、共振定理和闭像定理。他的名著《线性算子理论》是泛函分析发展史上的一个里程碑，它的出版标志着这门学科的正式诞生。他本人也成为泛函分析领域的世界权威。
1939年巴纳赫当选为波兰数学会主席，但不幸的是第二次世界大战爆发，波兰被德军占领。巴纳赫于1945年在更糟糕的情况下去世。
他不仅是一位杰出的数学家，也是一位杰出的数学教育家。他培养了大批年轻人，组建了强大的利沃夫泛函分析学派，为世界数学的发展做出了杰出贡献。
泛函分析是现代数学的一个重要分支。它主要采用解析方法研究各种函数空间，包括Banach空间和Hilbert空间，以及空间上的算子理论。
泛函分析广泛应用于数学的其他分支，如积分方程和微分方程，在物理学、经济学等领域，特别是宏观经济学中发挥着非常重要的作用。宏观经济学中研究消费者长期选择行为的拉姆齐模型和变分法的来源是泛函分析。
不动点问题也是数学中的一个重要研究问题。所谓某个函数f(x)的不动点，是指其原像与图像一致的点，即满足f(x)=x的点。当然，数学家的研究问题远比这复杂，并且产生了三项重要的研究成果。其中之一就是本文介绍的度量空间上的巴拿赫不动点定理。它在证明微分方程解的存在性方面起着极其重要的作用。
此外，拓扑领域还有布劳威尔不动点定理。应用这个定理可以证明很多非常有趣的事情。例如，网上经常流传一个著名的数学问题：如果拿一张当地的地图，把它放在地上，地图上总会有一个点与该点所代表的实际点重合。
第三个是集值映射领域的角谷不动点定理，它在经济学领域有非常重要的应用，是研究一般均衡理论的重要工具。
5.总结
本文从一道简单的考研题开始，引出了数学的一个重要分支，——泛函分析。目的是向大家展示数学的探索是永无止境的。每每想到这里，屈原的话就会在作者耳边回响：路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！