倍差法求和公式是什么(倍差数列公式是什么)

本文所说的复合数列是指等差数列乘以等比数列组成的数列，第二种是指幂指数数列乘以等比数列组成的数列。近20年来，在全国各省市和全国高考的数学试题中，复合数列的求和题几乎被列入数列的特殊单元。教学大纲和教材对此内容都有教学和考试要求，这意味着高中生必须熟练并能够使用复合数列求和的方法。数学老师称这种方法为“双差法”。我们来谈谈“双差法”，做一些归纳和结论。

乘以q相当于将序列向后递归一次，因此用后一个公式减去前一个公式。如果除以q，相当于将序列向前递归一次，所以用后一个公式减去前一个公式，结果还是一样：

我们可以得出更普遍的结论：

所以，我们得到以下结果：

这是利用上面的“双差法”得到的结果。可见，上述结果只是复合序列比较常见、常用的情况之一。如果我们使d和q不同，我们很快就会得到我们经常遇到的复合序列的和：

S2简化为以下公式：

使用“差法”求和：

S减少到这样的总和：

您可以验证前两项的总和：

T化简后为下式：

使用“差法”求和：

我们看一下当q=1时的情况。显然，以上所有求和公式都不能直接用于求q=1时的和。现在用“差分法”求S2的和，因为S是自然数的和，很容易求。

a(n)是一个等差数列，其第一项为a，其公差为d。b(n)是其二阶算术序列。例如，如果b=1、a=2、d=1，则可以求出S2的值：

通过S2之和，我们可以求出S2(n)之和：

同理，三阶算术数列的求和公式为：

因此，可求出S(n)之和：

S(n)的指数可以推广到任何正整数m，即自然数的任何正整数幂的前n项之和。这是以下求和的“通用公式”：

B是“伯努利数”。

使用“差分法”还可以求以下三阶算术数列的和：

使用上面已经找到的总和：

或这个：

也可以是这样的：

使用数学归纳法证明：

以上是二阶和三阶算术序列的求和。这个“计划”可以继续下去。现在写出7阶之前的高阶算术数列的求和公式：

三阶算术序列的求和公式：

4阶和5阶等差数列的求和公式：

7阶算术序列求和公式：

d=0是六阶等差数列的求和公式。m阶等差数列的求和公式：

a是原算术数列的第一项，d(k)是k阶算术数列的第一项，它们的和S(n)可以表示为：

现在回到“双差法”的主题。近二十年来，高考中的数列题几乎都包含了这种求复合数列之和的题，就是考验考生对“双差法”的综合运用能力。而且求和公式中的项数n往往并不相同，而求的n项是相同的，这是考验考生对所需数列的项数和公比的指数个数的判断。这些都是重要的测试点。还有一些复合数列不是由等差数列乘以等比数列组成，而是由n与等比数列的乘积组成。当对这样的序列求和时，常常会重复使用“双差法”。就是考察应用能力和计算能力。尤其当等比数列的公比q为分数时，合数数列的形式为nq，因此必须多次使用“双差法”。我们可以进行一般归纳并推导出一般公式。虽然不能直接作为考试中的公式使用，但解法是通用的。一旦掌握了技术方面的内容，就可以灵活运用到此类序列中。问题的答案。记住最后的结果。解决问题时，可以作为检查你的解法结果是否正确的依据。验证一下就可以了。

np之和

令p=2,3，可得n·2、n·3之和：

对于式中的p，若p=q1，则可求出nq之和，例如p=21，31：

nq之和：

这就是常用的“双差法”。两边都乘以q1，或除以q。当然，你也可以乘以q，不同的方法得到相同的结果：

令q=2，可得n·21之和：

令q=3，可得n·31之和：

有了上面的n2·31之和，那么n3·31之和也可以计算出来：

在上面的“公式”中，如果q=p，我们可以得到n·p的总和：

(n1)p之和：

设p=2,3,21,31，可得如下总和：

(n1)q之和：

由于算术数列中a=3，而不是1，而等比数列中b=q1，所以我们直接使用上面开头的公式来计算。以下方法加或减1并完成等差数列的第一项1。此时，a=b=1，项数为n+1。因此，使用公式计算出的和为n项之和，并且公式中的指数比项数多1，因此公式中指数项的数量为n+1：

令q=2，可得(n+1)·2之和，同理，令q=3，可得(n+1)·3之和：

类似地，如果q=21，我们可以得到(n+1)·2的和，如果q=31，我们可以得到(n+1)2·3的和。下面列出了当q=2,3时这两种类型的和：

通过数学归纳法证明最后的和：

因此，S对于任何自然数k都成立。

这里有些例子。

示例1.

前者采用上式计算，后者采用“双差法”计算。

示例2.

示例3.

通式很容易找到，关键也是最重要的是求和：

A项的和为n·2，计算和时使用了两次“双差法”，但第二次直接使用上式计算；B项的总和也是用公式计算的，主要看上面公式在求和中的应用。项之和A也可以使用上面的“公式”计算：

使用以下方法，这个问题变得更简单：

例4.

用“双差法”求：

实施例5.

实施例6.

当计算到等差数列与等差数列相乘的步骤时，可以继续使用“双差法”：

两边都乘以1/3相当于向后递归一次，所以用前一个公式减去后一个公式。

这样两边都乘以3，相当于向前递归一次，所以用后一个公式减去前一个公式。用公式计算时，需要注意的是，项数为n项，等差数列的第一项为1，但容差却是2，所以我们要找的是项之和（n-1）。式中公比的指数应为(n-1)，因为此时等比数列第一项为b=1。

例7.高考回放：

利用上面(n1)·2的结果，计算起来简单易行：

实施例8.

或者把3放到前面，先计算下面的和，然后乘以3求出总和：

常规“双差法”：

如果用“双差法”乘以3，本质是一样的。现在乘以3，然后最终结果将再次除以3。由于是乘以3，所以求和序列相当于向前递归一次，所以我们需要用最后1个公式减去前1个公式。因为公比是分数，如果乘以1/3，就相当于求和序列向后递归一次，所以必须用后一个来减去第一个。它们并没有本质上的不同。

由于递归表达式满足条件n>1，因此将b添加到最终的和中：

这就是问题的最终结果。

实施例9.

实施例10.

需要说明的是，“二重差法”几乎不适用于三角函数的求和，因为三角函数的角度可以是等差数列，也可以是等比数列，但三角函数几乎从来不是等比数列。序列，所以不可能用“双差法”求和。例如，对于如下形式的三角函数序列，“双差法”中的“倍数”使得无法完成任务：

三角函数的数列有其自身的特点和规则。虽然不能用“双差法”求和，但将三角函数的性质以及和差积、积和差的特点与和角公式或差角公式结合起来。公式和倍角公式，根据三角函数序列的特点，通过对通式进行适当变形，可以求出上述形式的三角函数序列的和。三角函数序列的代表是正弦函数序列和余弦函数序列，其结果如下：

下面给出四种方法来证明这一点。

第一种方法证明：

由此可见，解决这类问题的方法的“精髓”就是乘以sind/2，然后展开乘积和差，取消中间项，最后变成第一个和最后两个学期。和与差的乘积是最令人兴奋的部分。

第二种方法证明：

或者它可能是：

我们也可以看到，同样是求和，但是等差数列的应用有其优点和特点。第一种方法是充分利用“空气中项”的性质和特点，第二种方法是利用算术差。可以说，数列的通项公式在三角函数求和中将算术数列的这两个性质和特点发挥到了极致。

第三种方法证明：

最终公式中的角度代表（第一个角度+最后一个角度）的一半。这种证明方法比较灵活，技巧性十足。利用三角函数公式对通项进行适当拆分，或者变换通项公式的形式，展开正弦函数的差角公式，对消去相同项后的剩余两项使用余弦函数。和差积用于求正弦函数序列的和。用同样的方法，还可以求余弦函数序列的和：

第四种方法证明：

可以得出以下结论：

还可以得到如下推论：

现在使用上面的正弦序列和余弦序列公式来求前一个序列的和。

(1)

(2)

(3)

当然，用同样的方法，我们也可以求出如下形式的正弦函数序列之和：

(4)

可见，三角函数序列的求和和使用“双差法”的复合序列求和各有其规则和“原理”。三角函数序列的求和更多地体现在根据一般公式的特点来使用三角函数公式。通式的灵活运用体现了三角函数公式之间的正确关系，最终归结为三角函数的和差积和积和差。可以说，如果不熟悉三角函数公式及其应用，就不可能求出三角函数序列的和。

另一个例子：

根据上面的例子，还可以证明：